쌍곡선함수

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개요

쌍곡선함수의 정의는 다음과 같다.

삼각함수에 허수넣으면 나오는 녀석들이다.

\(\sinh x\)

<math>\sinh\left ( x \right )=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}</math>

역함수 \(\sinh^{-1} x\)

이 함수의 역함수는 다음과 같이 구할 수 있다.
우선 구하고자 하는 역함수를 ?로 놓으면,<math>\sinh?=x</math>
즉 <math>\frac{e^{?}-e^{-?}}{2}=x</math>이다.
양변에 <math>e^{?}</math>를 곱하면,<math>\frac{e^{2?}-1}{2}=e^{?}x</math>
양변에 2를 곱하면,<math>e^{2?}-1=2xe^{?}</math>
양변에 <math>2xe^{?}</math>를 빼면,<math>e^{2?}-2xe^{?}-1=0</math>
좌변을 적절히 변형하면,<math>\left ( e^{?}-x \right )^{2}-x^{2}-1=0</math>이 된다.
양변에 <math>{x}^{2}+1</math>을 더하면,<math>\left ( e^{?}-x \right )^{2}={x}^{2}+1</math>
양변을 풀면,<math>e^{?}-x=\pm \sqrt{{x}^{2}+1}</math>
양변에 <math>x</math>를 더하면,<math>e^{?}=x\pm \sqrt{{x}^{2}+1}</math>
그런데 <math>x-\sqrt{{x}^{2}+1}</math>은 항상 0보다 작고 <math>e^{x}</math>는모든 실수 <math>x</math>에 대해서 <math>e^{x}>0</math>이 성립하므로 이것을 제외해 주면,<<math>e^{?}=x+\sqrt{{x}^{2}+1}</math>
양변에 자연대수를 취하면 마침내 ?를 구할 수 있다.
<math>?=\sinh^{-1}x=\ln\left ( x+\sqrt{{x}^{2}+1} \right )</math>.

\(\cosh x\)

<math>\cosh\left ( x \right )=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}</math>

역함수 \(\cosh^{-1} x\)

이 함수의 역함수는 다음과 같이 구할 수 있다.
우선 구하고자 하는 역함수를 ?로 놓으면,<math>\cosh?=x</math>
즉 <math>\frac{e^{?}+e^{-?}}{2}=x</math>이다.
양변에 <math>e^{?}</math>를 곱하면,<math>\frac{e^{2?}+1}{2}=e^{?}x</math>
양변에 2를 곱하면,<math>e^{2?}+1=2xe^{?}</math>
양변에 <math>2xe^{?}</math>를 빼면,<math>e^{2?}-2xe^{?}+1=0</math>
좌변을 적절히 변형하면,<math>\left ( e^{?}-x \right )^{2}-x^{2}+1=0</math>이 된다.
양변에 <math>{x}^{2}+1</math>을 더하면,<math>\left ( e^{?}-x \right )^{2}={x}^{2}-1</math>
양변을 풀면,<math>e^{?}-x=\pm \sqrt{{x}^{2}-1}</math>
양변에 <math>x</math>를 더하면,<math>e^{?}=x\pm \sqrt{{x}^{2}-1}</math>
양변에 자연대수를 취하면 마침내 ?를 구할 수 있다.
<math> ?=\cosh^{-1}x=\begin{cases}

& \ln\left ( x+\sqrt{{x}^{2}-1} \right )\left ( 0<x<\infty \right ) \\ 
& \ln\left ( x-\sqrt{{x}^{2}-1} \right )\left ( -\infty<x\leq0 \right )

\end{cases} </math>

\(\tanh x\)

<math> \tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} </math>

역함수 \(\tanh^{-1} x\)

<math>\frac{e^{?}-e^{-?}}{e^{?}+e^{-?}}=x</math>
<math>e^{?}-e^{-?}=x\left ( e^{?}+e^{-?} \right )</math>
<math>e^{?}-e^{-?}=xe^{?}+xe^{-?}</math>
<math>e^{?}-xe^{?}-e^{-?}-xe^{-?}=0</math>
<math>e^{2?}-xe^{2?}-1-x=0</math>
<math>e^{?}=t</math>
<math>t^{2}-xt^{2}-1-x=0</math>
<math>\left ( 1-x \right )t^{2}=1+x</math>
<math>t^{2}=\frac{1+x}{1-x}</math>
<math>t=\pm \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}</math>
<math>t=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\left ( t>0 \right )</math>
<math>e^{?}=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}</math>
<math>?=\ln\left ( \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \right )=\tanh^{-1}x=\frac{1}{2}\left \{ \ln \left ( {\frac{1+x}{1-x}} \right ) \right \}=\frac{1}{2}\left \{ \ln\left ( 1+x \right )-\ln\left ( 1-x \right ) \right \}=\frac{\ln\left ( 1+x \right )-\ln\left ( 1-x \right )}{2}</math>

표로 정리

표로 정리하면 다음과 같다.

함수	역함수
<math>\sinh x</math>	<math>\ln\left ( x+\sqrt{{x}^{2}+1} \right )</math>
<math>\cosh x</math>	<math> \begin{cases} & \ln\left ( x+\sqrt{{x}^{2}-1} \right )\left ( 0<x<\infty \right ) \\ & \ln\left ( x-\sqrt{{x}^{2}-1} \right )\left ( -\infty<x\leq 0 \right ) \end{cases} </math>
<math> \tanh x </math>	<math>\frac{\ln\left ( 1+x \right )-\ln\left ( 1-x \right )}{2}</math>