뉴튼-랩슨 법

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개요[편집]

뉴튼-랩슨 법은 어떤 연속함수의 방정식을 구할 때 사용하는 방법으로 다음의 점화식을 말한다.

<math>x_{n}=x_{n-1}-\frac{f\left ( x_{n-1} \right )}{f'\left ( x_{n-1} \right )}</math>

초기값을 적당히 잘 잡아야 몇단계 내로 끝낼 수 있지만 이 초기값을 잘 잡는 게 오사스럽다.

간단한 방정식의 경우에는 굳이 초기값을 쫌 크게 잡아도 대부분 몇번 깔짝거리면 해당 방정식의 해로 수렴한다.

우리는 방정식 <math>f\left ( x \right )=e^{x}-2</math>의 근을 구할 것이다.

그리고 <math>f\left ( x \right )=e^{x}-2,f'\left ( x \right )=e^{x}</math>이다.

이제 점화식을 구해보면,

초기값을 1로 잡고 그 값을 표로 정리하면 다음과 같다.
비교후 맞는 자리까지 입력 후 그 값을 아래 점화식에 그대로 대입하였다.
예를 들어 0.693까지 맞으면 그 0.693이란 값을 그 점화식에 그대로 대입하였다.

대충 이렇게 실제 계산기로 일고리즘을 적용하면 상당히 빨리 수렴한다고 한다..

물론 초기값을 잘 잡아야 몇번안에 수렴한다.

이 수는 방정식 <math>x^{2}-2=0</math>의 근을 구하는 것과 같으므로 다음과 같다.

<math>\begin{cases}

& f\left ( x \right )=x^{2}-2 \\ 
& f'\left ( x \right )=2x

\end{cases}</math>

점화식은 다음과 같다.

이제 구해보면...

초기값은 1이다.

일단 점화식을 세워 놓자.

역시 표를 만들자.

참값은 모르므로 대충 해당 수를 위 방정식에 대입하고 그것과 25의 오차를 계산하여야 한다.

초기값은 이번엔 2로 해보자.

아무튼 오차의 절댓값이 빠르게 0으로 수렴한다.

<math>\begin{cases}

& f\left ( x \right )=\cos x+{x}^{3} \\ 
& f'\left ( x \right )=-\sin x+3{x}^{2}

\end{cases}</math>

점화식을 세워보면.

초기값은 2로 하겠습니다.

<math>\begin{cases}

& f\left ( x \right )={x}^{x}-2 \\ 
& f'\left ( x \right )={x}^{x}\left ( \ln x+1 \right )

\end{cases}</math>

<math>x_{n}=x_{n-1}-\frac{{x_{n-1}}^{x_{n-1}}-2}{{x_{n-1}}^{x_{n-1}}\left ( \ln{x_{n-1}}+1 \right )}</math>